Probability Space

 

 

 

확률론은 불확실한 현상을 수학적으로 모델링하기 위한 강력한 도구이다. 불확실한 사건들을 체계적으로 분석하고 예측하기 위해 Probability Space의 개념은 필수적이다. 본 글에서는 Probability Space의 정의와 그 구성 요소를 소개하며, Statistical(random) experiment, Sample space, Event 등의 기본 개념과 함께 σ-field와 probability set function의 정의를 설명한다.

1. Concepts

1.1. Statistical(random) experiment

Statistical(random) experiment란, 실험을 수행하기 전에는 결과를 확실하게 예측할 수 없는 실험을 의미한다. 즉, 실험의 결과가 무작위적으로 결정되며 불확실성을 내포한다.

1.2. Sample space

Sample space는 Statistical(random) experiment에서 가능한 모든 결과들의 집합이다. 본 글에서는 Sample space를 \( \Omega \)로 표기한다. 예를 들어, 동전을 던지는 실험의 경우 \( \Omega = \{ \text{Heads}, \text{Tails} \} \)로 정의할 수 있다.

1.3. Event

Event는 σ-field의 원소를 의미하며, 보통 \( A, B, C \) 등의 기호로 나타낸다. 특정 Event는 실험 결과가 그 부분집합에 포함될 경우를 의미한다.

2. σ-field

Sample space \( \Omega \)의 모든 부분집합에 대해 확률이나 측도를 정의하는 것은 불가능하다. 특히 \( \Omega \)가 비가산 무한 집합(예: 실수 집합)일 경우, 모든 부분집합을 대상으로 확률을 정의하면 non-measurable set이 등장하여 수학적 모순을 야기할 수 있다. 이러한 문제를 해결하기 위하여, 우리는 ‘측정 가능한’ 부분집합들만을 모은 σ-field를 사용한다.

Definition (σ-field)
Let \( \mathcal{F} \) be a collection of subsets of \( \Omega \). We say \( \mathcal{F} \) is a σ-field if

1. \( \varnothing \in \mathcal{F} \).
2. \(\ A \in \mathcal{F} \Rightarrow \ A ^c \in \mathcal{F} \) (closed under complement).
3. \( A_1, A_2, \cdots \in \mathcal{F} \Rightarrow \displaystyle \bigcup_{i=1}^{\infty} A_i \in \mathcal{F} \) (closed under countable union).

이 정의는 다음과 같은 중요한 성질을 내포한다. 먼저, 전체 집합 \( \Omega \)와 공집합 \( \varnothing \)이 σ-field \( \mathcal{F} \)에 반드시 포함되어야 한다. 또한, \( \mathcal{F} \)에 속하는 임의의 집합의 여사건이 \( \mathcal{F} \)에 포함되고, 가산 개의 측정 가능한 집합들의 합집합 역시 \( \mathcal{F} \)에 포함되어야 한다. 이로써 σ-field는 측도론적으로 일관된 확률을 정의할 수 있는 ‘측정 가능한 사건들의 모임’이 된다.

3. Probability Set Function

확률공간의 세 번째 구성 요소는 확률 측도 \( P \)이다. \( P \)는 σ-field \( \mathcal{F} \)에 속하는 각 Event에 대해 0과 1 사이의 값을 할당하는 함수로, 확률의 기본 공리를 만족해야 한다.

Definition (probability)
Let \( \Omega \) be a sample space, \( \mathcal{F} \) be a σ-field on \( \Omega \). Let \( P \) be a real-valued function defined on \( \mathcal{F} \). Then \( P \) is called a probability set function if it satisfies the following three conditions:

1. \( P(A) \geq 0, \quad \forall A \in \mathcal{F} \) (non-negativity).
2. \( P(\Omega) = 1 \) (normality).
3. For \( A_1, A_2, \cdots \in \mathcal{F} \) such that \( A_m \cup A_n = \varnothing \) for all \( m \neq n \),
   \[ P\left(\bigcup_{i=1}^{\infty} A_i\right) = \sum_{i=1}^{\infty} P(A_i) \] (countable additivity).

여기서 non-negativity는 모든 Event에 대해 확률이 음수가 될 수 없음을 의미하며, normality는 전체 Sample space \( \Omega \)의 확률이 1임을 보장한다. 또한, countable additivity는 서로소인 여러 Event에 대해 각 Event의 확률의 합이 그 합집합의 확률과 같아야 함을 명시한다. (countable additivity는 각 Event들이 서로소여야 한다.)

4. Probability Space \( (\Omega, \mathcal{F}, P) \)

앞서 소개한 개념들을 종합하면, Probability Space은 다음과 같이 구성된다.

• Sample space \( \Omega \)는 Statistical(random) experiment에서 가능한 모든 결과들의 집합이다.
• σ-field \( \mathcal{F} \)는 \( \Omega \)의 부분집합 중 측정 가능한 집합들을 모은 집합이다.
• Probability set function \( P \)는 \( \mathcal{F} \)에 속하는 각 Event에 대해 0과 1 사이의 확률을 할당하는 함수이다.

이와 같이 구성된 Probability Space \( (\Omega, \mathcal{F}, P) \)는 불확실한 현상을 분석하고 모델링하기 위한 확률론의 기초를 형성한다.

5. Uncountable Infinite Sets and Measurability

표본 공간 \( \Omega \)가 유한 집합이나 가산 무한 집합인 경우, 모든 부분집합에 대해 확률을 정의하는 데 큰 문제가 없다. 그러나 실수 집합과 같이 비가산 무한 집합인 경우, 모든 부분집합에 대해 확률이나 측도를 정의하면 non-measurable set이 등장할 수 있다. 이러한 집합은 합리적인 확률을 부여할 수 없으므로, Probability Space의 구성 요소로 포함시키지 않는다.

따라서, 비가산 무한 집합을 표본 공간으로 사용할 때는 σ-field \( \mathcal{F} \)를 이용하여 측정 가능한 부분집합들만을 선택한다. 이로써 확률 측도 \( P \)는 모순 없이 일관된 방식으로 정의될 수 있으며, Lebesgue 측도와 같은 현대 측도론의 기초를 이루게 된다.

6. Importance of Probability Space

Probability Space \( (\Omega, \mathcal{F}, P) \)는 확률론뿐만 아니라 통계학, 금융, 물리학 등 다양한 분야에서 불확실성을 모델링하는 데 필수적인 개념이다. 엄밀한 확률공간의 정의를 통해 여러 정리와 결과들이 논리적으로 증명되며, 실제 응용에서도 신뢰할 수 있는 결과를 도출할 수 있다. 특히, σ-field의 도입은 비가산 무한 집합과 같이 복잡한 표본 공간에서도 모순 없이 확률을 다룰 수 있게 하여, 수학적 모델의 엄밀성을 확보한다.

7. Conclusion

이와 같이 구성된 Probability Space \( (\Omega, \mathcal{F}, P) \)는 불확실성을 체계적으로 분석하기 위한 확률론의 근간을 형성한다. 확률공간의 엄밀한 정의와 그 구성 요소들을 명확히 이해함으로써, 우리는 다양한 응용 분야에서 신뢰할 수 있는 수학적 모델을 구축할 수 있다. 앞으로 확률론이나 통계학, 관련 분야를 공부할 때, 본 글에서 제시한 개념들이 좋은 출발점이 되기를 기대한다.