Point Function과 Set Function

 

확률 이론의 기초를 이해하기 위해서는 "Point Function(점 함수)"과 "Set Function(집합 함수)"의 차이를 명확히 이해할 필요가 있다. 이 두 개념은 각각 점이나 집합을 정의역으로 가지는 함수로, 확률 이론과 통계적 분석에서 중요한 역할을 한다. 

1. Point Function(점 함수)

Point Function은 정의역이 특정 점으로 구성된 함수이다. 이는 보통 수학적 공간의 점을 입력으로 받아 값을 산출한다.

f : D → ℝ, x ↦ f(x),
여기서 D ⊆ ℝⁿ은 점들로 이루어진 정의역이고, ℝ은 공역이다.

• Point Function은 정의역 내의 각 점에서 독립적으로 값을 정의하며, 특정 상태에서의 결과를 계산하는 데 사용된다.
  • 1차원에서 f(x) = x²
  • 2차원에서 f(x, y) = x + y
  • 통계학에서 확률 밀도 함수(PDF): 연속 확률 변수의 특정 값 근처에서 확률 분포의 밀도를 나타냄.

2. Set Function(집합 함수)

Set Function은 정의역이 점이 아닌 집합으로 구성된 함수로, 특정 집합의 크기나 특성을 측정하는 데 사용된다.

μ : 𝓕 → ℝ ∪ {±∞}, E ↦ μ(E),
여기서 𝓕 ⊆ ℘(Ω)는 Ω의 Power Set이고, ℝ ∪ {±∞}는 공역이다.

• Set Function은 사건의 확률, 집합의 면적, 혹은 특정 구간에 속하는 확률을 계산하는 데 사용된다.
  • 확률 측도: 사건 A ⊆ Ω에 대해 P(A) ∈ [0, 1].
  • 면적 계산: μ(A)는 집합 A의 면적.
  • 누적 분포 함수(CDF): F(x) = P(X ≤ x)는 (-∞, x]와 같은 구간에 대한 확률을 측정.

3. 비교

구분	Point Function	Set Function
정의역	점 또는 특정 좌표 (ℝⁿ)	집합 (𝓟(Ω))
공역	실수 또는 복소수 (ℝ, ℂ)	확장된 실수 집합 (ℝ ∪ {±∞})
사용 목적	특정 점에서의 값을 계산	집합의 크기나 특성을 측정
예시	확률 밀도 함수, 상태 함수	확률 측도, 누적 분포 함수

4. Set Function의 수학적 성질

Set Function은 정의역이 집합이기 때문에 다음과 같은 성질들을 가질 수 있다.

1. Non-negativity:
   μ(E) ≥ 0 ∀ E ∈ 𝓕
2. Finite Additivity:
   집합 E₁, E₂ ∈ 𝓕이고, E₁ ∩ E₂ = ∅일 때:
   μ(E₁ ∪ E₂) = μ(E₁) + μ(E₂)
3. Countable Additivity:
   집합 열 {Eᵢ}ᵢ₌₁^∞ ⊆ 𝓕이고, 모든 Eᵢ ∩ Eⱼ = ∅ (i ≠ j)일 때:
   μ(⋃ᵢ₌₁^∞ Eᵢ) = ∑ᵢ₌₁^∞ μ(Eᵢ)

이러한 성질은 확률론과 측도론에서 매우 중요한 기반을 제공하며, 확률 공간이나 측도 공간의 구성을 가능하게 한다.

5. 활용

• Point Function:
  • 특정 값에서의 확률 밀도 계산 (예: fₓ(x)).
  • 시스템 상태 변수의 값을 나타내는 데 활용 (예: 온도, 압력).
• Set Function:
  • 사건에 확률을 할당하는 확률 측도 (예: P(A)).
  • 데이터의 분산과 같은 통계적 특성