1.2 선형대수학의 범위

 

선형방정식

• equatoin ( 방정식 ) : 문자를 포함하는 등식. 변수의 값에 따라 참 또는 거짓이 되는 식.
• linear equation ( 선형방정식 ) : 최고차항의 차수가 1인 방정식. 일차방정식이라고도 한다. 
• system of linear equations ( 연립선형방정식 ) : 여러 선형방정식이 모여 있는 것. 행렬과 벡터를 사용하여 표현 가능하다. 
• solution ( 해 ) : 선형방정식을 모두 만족하는 미지수들의 값.

 

벡터공간

• 벡터는 보통 행이나 열이 하나인 행렬을 가리킨다. 
• 선형대수학에서 벡터는 보다 넓은 의미로 서로 더하거나 스칼라배할 수 있는 것을 가리키기도 하며, 이러한 벡터들의 모음을 vector space (벡터공간)이라고 한다. 

 

넓은 의미의 vector 유형

1. number(수) - 합 연산과 스칼라배를 할 수 있다.
2. polynomial(다항식) - 다항식끼리 더하면 다항식이고, 다항식에 스칼라배를 해도 다항식이다.
3. 동일한 크기의 행렬 - 합 연산과 스칼라배를 한 결과가 모두 행렬이다. 

- 선형대수학의 기본 과정에서 벡터는 하나의 열이나 행만을 갖는 행렬을 의미한다. 벡터가 선형대수학의 기본 과정에서 다루는 것보다 넓은 의미로 사용됨을 알려주기 위해, 넓은 의미의 벡터 사례를 몇 가지 소개한 것. 

 

zero vector ( 영벡터 ) : 벡터에 0을 곱한 결과. 보통 0 또는 O로 나타내는데, 이때 굵은 글꼴을 사용한다. 선형대수학의 기본 과정에서 영벡터는 성분이 0인 하나의 열이나 행만을 갖는 행렬을 의미한다.  

 

선형변환

어떤 사상 f가 벡터 v와 w, 스칼라 c에 대해 다음 두 성질을 모두 만족하면 linear transformation(선형변환)이라고 한다. 선형변환을 linear mapping(선형 사상)이라고도 한다. 

1. f(v+w) = f(v) + f(w)
2. f(cv) = cf(v) 

• 선형변환의 두 성질 중 하나라도 만족하지 못하면 선형변환이 아니다. 
• f(x) = 0 이 선형방정식일 때, y = f(x)가 항상 선형변환인 것은 아니다. 

 

• 기하학적 의미에서의 선형과 비선형
  • '선형'은 기하학적으로 직선 또는 평면처럼 똑바르고 평평하다는 의미를 가진다.
  • 곡선 또는 곡면에 해당하는 성질을 nonlinear(비선형)이라고 한다. 
• 선형변환에서의 선형과 비선형
  • 선형변환에서 선형은 일차식인지 아닌지와 상관없이 어떤 사상 f가 f(v+w) = f(v) + f(w)와 f(cv) = cf(v)를 만족함을 의미한다. 
  • 만약 기하학적의미로 봤을 때 선형이더라도, 선형변환의 의미로써 선형이 아닐 수 있따. 
  • 선형의 성질은 일반적으로 기하학적 의미로 사용하지만, 고급 선형대수학 이론에서는 선형변환의 의미로 주로 사용한다.  

 

행렬 이론

• 영행렬과 단위 행렬 : 행렬에 대해 정의된 합, 곱 연산과 각각에 대한 identity ( 항등원 )
• inverse matrix ( 역행렬 ) : 곱셈의 역원 
• 역행렬의 유무를 판정하기 위한 determinant ( 행렬식 ) 
• matrix decomposition ( 행렬 분해 ) : 자연수를 자연수의 곱으로 인수분해하는 것처럼, 행렬을 다른 행렬의 곱으로 표현하는 것
• LU 분해, QR 분해, 고윳값 분해, 촐레스키 분해, 특잇값 분해 
• diagonalization ( 대각화 ) : 행렬을 대각행렬로 변환하는 연산 
• quadratic form ( 이차형식 ) : 다항식에서 문자 두 개의 곱으로 표현되는 이차항으로만 구성되는 식. 대칭행렬을 사용하여 표현할 수 있다. 이차형식은 이차식이지만, 이차식이 항상 이차형식인 것은 아니다.