Hilbert space, Banach space, Compleness Axiom

복습

f’는 linear operator이다.

riesz representation theorem에 의해, df = <∇f, dx> = ∇f^Tdx가 성립

⇒ Jacobian과 gradient는 transpose관계임

⇒ Gradient는 정의 자체에서 “내적”을 전제로 함.

     → 대칭이고 양의 정부호 행렬인 M은 벡터 공간의 내적을 정의할 수 있다. 이때 inner product로 정의한 Gradient와 비교했을 때 모양이 달라진다.

 

오늘의 주제

1. Hilbert space: 완비성 공리를 만족하는 내적공간.
2. Banach space: 완비성 공리를 만족하는 노름공간.
3. 완비성공리

inner product

1. symmetric
2. 첫번째 성분에 대해 linearity
3. positive-semi-definite

• 내적이 정의된 vector space: inner product space

Norm

• vector space에서 다음을 만족하는 함수.

• Normed space: Norm이 정의된 벡터공간
• norm은 내적공간의 거리함수 역할을 한다.

완비성 공리(Least upper bound property = Compleness axiom)

• 수열: 정의역이 자연수인 함수 a_n: N → R
• 위로 유계인 집합: 실수공간의 부분집합 S가 임의의원소 x에 대하여, x보다 큰 값인 베타가 실수 공간에 존재하면 집합 S를 위로 유계인 집합이라고 한다. 그리고 이 베타를 상계(upper bound)라고 한다.
  • supremum(Least upper bound)
    • 집합 S의 상계이면서 그보다 작은 임의의 값이 S의 상계가 아닌 값
• 완비성공리: 전체 집합 X와 임의의 위로 유계인 부분집합 S에 대하여 S의 상한이 X의 원소라면, X는 완비성 공리를 만족한다.
  • 실수 집합은 완비성 공리를 만족한다. (유리수 집합은 완비성 공리를 만족하지 않는다.)
  • “틈”이 없다.
  • 완비성 공리는 limit를 취했을 때 그 집합 바깥으로 튀어나가는 것을 방지하는 성질이다.
  • 어떤 점을 향해 한없이 다가갈때 그 점이 비어있는 구멍인 것을 방지하는 성질이다.

Hilbert space, Banach space

• 앞서 말했듯이 힐베르트 공간은 완비성 공리를 만족하는 내적공간이고, 바나흐 공간은 완비성 공리를 만족하는 노름공간이다.
• Hilbert space이면 Banach space이다.
• 미분의 정의는 norm에 의존하고 있다.

• Banach space에서 정의되는 미분을 “Frechet derivative”라 한다. (참고)

추가

• 유계수열: 수열의 치역집합이 유계집합인 수열 (Bounded Sequence)
• 코시 수열: 임의의 ε>0에 대하여, m, n ≥ N일때, |a_n - a_m| <  ε이 되게 하는 자연수 N이 존재하는 수열을 코시 수열이라 한다.
  • 코시 수열은 유계이다.
  • 수렴하는 수열은 코시수열이다.
  • 완비성공리를 만족하는 집합에서 코시 수열은 수렴하는 수열이다. 이때, 그 수열의 극한값은 집합의 원소이다.
    ⇒ 완비성 공리의 동치 명제로 “코시 수열과 수렴하는 수열은 필요충분관계이다”라는 것을 알 수 있다.
    ⇒ Hilbert space와 Banach space는 내적공간, 노름 공간에서 “완비성 공리”를 만족하기에 수렴하는 수열의 극한값의 존재성이 보장된다.
    
    

 

“완비성” = 수렴하는 것에 극한을 취했을 때, 극한 값이 그 집합 안에 존재함을 보장해주는 성질.