좌표함수가 Dual Space의 Ordered Basis임을 증명

좌표함수가 \( V^* \)의 원소임을 확인
좌표함수 \( f_i \)는 \( v \in V \)에 대해 다음과 같은 선형성을 만족한다.
\[ f_i(v + w) = f_i(v) + f_i(w), \quad f_i(cv) = c f_i(v). \] 따라서, \( f_i \in V^* \)임이 증명된다.
좌표함수들이 \( V^* \)의 기저임을 확인
Dual space \( V^* \)의 기저란 \( V^* \)의 모든 원소가 이 기저의 선형 결합으로 표현될 수 있는 최소 집합이다.
\( V^* \)의 모든 원소 \( f \)는 \( V \)의 기저 \(\{v_1, v_2, \dots, v_n\}\)에 대해 다음과 같이 표현될 수 있다. \[ f(v) = f(a_1v_1 + a_2v_2 + \cdots + a_nv_n) = a_1f(v_1) + a_2f(v_2) + \cdots + a_nf(v_n). \] 여기서 \( f(v_1), f(v_2), \dots, f(v_n) \)는 스칼라값이므로, \( f \)는 \( f_1, f_2, \dots, f_n \)의 선형 결합으로 표현될 수 있다.
좌표함수 \( f_1, f_2, \dots, f_n \)의 독립성 확인
좌표함수 \( f_1, f_2, \dots, f_n \)가 선형 독립임을 보이기 위해, 임의의 스칼라 \( c_1, c_2, \dots, c_n \)에 대해 \[ c_1f_1 + c_2f_2 + \cdots + c_nf_n = 0 \] 이 성립하면 \( c_1 = c_2 = \cdots = c_n = 0 \)임을 증명해야 한다. 이를 위해 \( v_k \)를 \( k \)-번째 기저 벡터로 정의하면 좌표함수의 정의에 의해 \[ f_i(v_k) = \begin{cases} 1 & \text{if } i = k, \\ 0 & \text{if } i \neq k. \end{cases} \] 이를 선형 결합 식에 대입하면 모든 \( k \)에 대해 \( c_k = 0 \)임을 보일 수 있다.
따라서, 좌표함수들은 선형 독립이다.
결론
좌표함수 \( f_1, f_2, \dots, f_n \)은 \( V^* \)의 선형 독립적인 집합이며, \( V^* \)의 모든 원소는 \( f_1, f_2, \dots, f_n \)의 선형 결합으로 표현될 수 있다.
따라서, 좌표함수 \( f_1, f_2, \dots, f_n \)은 \( V^* \)의 ordered basis이다.