좌표 함수가 Dual Space의 ordered basis임을 증명

 

좌표함수가 Dual Space의 Ordered Basis임을 증명

1. 좌표함수가 $V^{\ast }$의 원소임을 확인
   좌표함수 $f_i$는 $v\in V$에 대해 다음과 같은 선형성을 만족한다.
   $$f_i(v+w)=f_i(v)+f_i(w),f_i(cv)=c{f}_i(v).$$ 따라서, $f_i\in V^{\ast }$임이 증명된다.
2. 좌표함수들이 $V^{\ast }$의 기저임을 확인
   Dual space $V^{\ast }$의 기저란 $V^{\ast }$의 모든 원소가 이 기저의 선형 결합으로 표현될 수 있는 최소 집합이다.
   $V^{\ast }$의 모든 원소 $f$는 $V$의 기저 $\{v_1,v_2,\dots ,v_n\}$에 대해 다음과 같이 표현될 수 있다. $$f(v)=f(a_1{v}_1+a_2{v}_2+\cdots +a_n{v}_n)=a_{1}f(v_1)+a_{2}f(v_2)+\cdots +a_{n}f(v_n).$$ 여기서 $f(v_1),f(v_2),\dots ,f(v_n)$는 스칼라값이므로, $f$는 $f_1,f_2,\dots ,f_n$의 선형 결합으로 표현될 수 있다.
3. 좌표함수 $f_1,f_2,\dots ,f_n$의 독립성 확인
   좌표함수 $f_1,f_2,\dots ,f_n$가 선형 독립임을 보이기 위해, 임의의 스칼라 $c_1,c_2,\dots ,c_n$에 대해 $$c_1{f}_1+c_2{f}_2+\cdots +c_n{f}_n=0$$ 이 성립하면 $c_1=c_2=\cdots =c_n=0$임을 증명해야 한다. 이를 위해 $v_k$를 $k$-번째 기저 벡터로 정의하면 좌표함수의 정의에 의해 $$f_i(v_k)=\{\begin{array}{ll}1& \text{if }i=k,\\ 0& \text{if }i\ne k.\end{array}$$ 이를 선형 결합 식에 대입하면 모든 $k$에 대해 $c_k=0$임을 보일 수 있다.
   따라서, 좌표함수들은 선형 독립이다.
4. 결론
   좌표함수 $f_1,f_2,\dots ,f_n$은 $V^{\ast }$의 선형 독립적인 집합이며, $V^{\ast }$의 모든 원소는 $f_1,f_2,\dots ,f_n$의 선형 결합으로 표현될 수 있다.
   따라서, 좌표함수 $f_1,f_2,\dots ,f_n$은 $V^{\ast }$의 ordered basis이다.